Lời giải:

1)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:

\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)

\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)

2)

Ghi đầy đủ đề:

\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:

\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(a^4+3=a^4+1+1+1\ge4\sqrt[4]{a^4}=4\left|a\right|\ge4a\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=1\)

\(a^4+3\ge4a\)

\(a^4+3\ge4a\Rightarrow a>0\)

\(a^4+3=4a\)chỉ xảy ra khi \(a=1\),\(a^4+3>4a\Rightarrow a>1\)

câu hỏi bảo chứng minh mà

a⁴-4a+3=(a⁴-2a²+1)+(2a²-4a+2)=(a²-1)²+2(a²-2a+1)=(a²-1)²+2(a-1)² >/ 0 với mọi a 

=> a⁴+3 >/ 4a

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)-4a^2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+a^2+a^2b^2+b^2-4a^2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b+b^2\right]+\left[a^2-2.a.ab+\left(ab\right)^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+\left(a^2-ab\right)^2\ge0\) là BĐT đúng

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\) đúng (ĐPCM)

Bài nek cũng dễ mà bạn.

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+a^2+b^2-4a^2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b+b^2+a^2b^2-2a^2b+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+a^2\left(b-1\right)^2\ge0\)( đúng )

Vậy.................

\(a^2+b^2>=2ab\)

\(a^2+1>=2a\)

Do đó: \(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)>=4a^2b\)

\(a,\) Ta có: \(S=\frac{ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Xét tử thức ta có: \(ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)-bc\left[\left(c-a\right)+\left(a-b\right)\right]+ac\left(c-a\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)-bc\left(c-a\right)-bc\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)\)

\(=-b\left(a-b\right)\left(c-a\right)+c\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\)

\(=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)

Vậy \(S=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)

Vậy .......

\(b,a^4+3\ge4a\)

\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+1\right)^2+2\right]\ge0\left(Luôn-đúng-\forall a\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

Với a;b;c không âm?

\(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Ta sẽ cm \(4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b-c\right)\Leftrightarrow4ac\ge-4ac\) (đúng với a;b;c không âm)

Dấu "=" xảy ra khi a;b không âm bất kì và c=0

no biết

Giang Minh Anh ơi bạn ko biết thì đừng nhắn linh tinh nha!